ANGULOS

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

 Decimos que un ángulo es la abertura que hay entre dos rectas (o segmentos) que se cortan en un punto llamado vértice.

En esta figura podemos observar la abertura creada por las dos rectas (simbolizada por los puntos discontinuos) y que representaría el ángulo formado.

Tipo de ángulos

• ·         Ángulo recto: es el ángulo formado por dos rectas dispuestas perpendicularmente.
• ·         Ángulo agudo: es un ángulo menor que un ángulo recto.
• ·         Ángulo llano: es el ángulo formado por dos rectas planas.
• ·         Ángulo obtuso: es un ángulo menor que un ángulo llano pero mayor que un ángulo       recto.
• ·         Ángulo completo: es el ángulo formado por dos rectas superpuestas.
• ·         Ángulo cóncavo: es un ángulo mayor que un ángulo obtuso pero menor que un             ángulo completo.

Medida de ángulos

Los ángulos los medimos con grados y se simboliza con el signo ∘ (por ejemplo: 93 grados lo expresamos como 93∘).

     Para establecer esta medida dividimos lo que sería un ángulo completo en 360 grados, y a partir de esta definición podemos saber cuánto mide un grado.

     Para entenderlo mejor recordemos que un ángulo completo es el ángulo formado por dos rectas que estén superpuestas:

Un ángulo completo es un ángulo de 360 grados.

Una vez establecida esta medida, podemos observar que:

• ·         Un ángulo recto mide 90∘.
• ·         Un ángulo agudo mide entre 0∘ y 90∘.
• ·         Un ángulo llano mide 180∘.
• ·         Un ángulo obtuso mide entre 90∘ y 180∘.
• ·         Un ángulo completo mide 360∘.
• ·         Un ángulo cóncavo mide entre 180∘ y 360∘.

Y también observamos que:

• ·         Dos ángulos rectos forman uno llano (90∘+90∘=180∘).
• ·         Dos ángulos llanos forman uno completo (180∘+180∘=360∘).
•       Cuatro ángulos rectos forman uno completo 

Suma de ángulos

Como podemos ver, tenemos libertad para sumar ángulos, pero, ¿qué pasa si al sumarlos superamos un ángulo de 360grados?

Pues bien, nosotros hemos definido los ángulos desde el ángulo de 0∘ hasta el de 360∘ y si nos fijamos, la posición relativa de dos rectas en posiciones de 0∘ y de 360∘ son semejantes:

Esto nos viene a decir que si al sumar dos ángulos superamos los 360∘ podemos buscar un ángulo de entre 0∘ y 360∘ y que sea semejante al de la suma.

Por ejemplo,

Ejemplo

Si sumamos un ángulo de 90∘ más uno de 360∘, obtenemos uno de 450∘, que es semejante a uno de 90∘

MAS=

Metódicamente, si hacemos una suma de ángulos y supera los 360∘, para obtener el ángulo semejante situado entre 0∘ y 360∘tenemos que restar sucesivamente 360∘ hasta encontrar un ángulo de como máximo 360∘.

Ejemplo

Realicemos la suma de los ángulos 90∘,180∘,66∘,25∘,300∘,21∘ y 80∘:

90∘+180∘+66∘+25∘+300∘+21∘+80∘=762∘

Y ahora restemos 360∘ sucesivamente hasta encontrar un ángulo no mayor a 360∘:

762∘−360∘=402∘

402∘−360∘=42∘

Por consiguiente, la suma de todos los ángulos anteriores resulta un ángulo de 42 grados.

Resta de ángulos

De la misma manera que hemos definido la suma de ángulos definimos la resta de ángulos.

Por ejemplo,

Ejemplo

Un ángulo llano menos un ángulo recto resulta un ángulo recto

 MENOS= 

Veamos qué sucede si al restar varios ángulos obtenemos un valor negativo.

Pero de la misma manera que con la suma, el valor de un ángulo negativo es semejante al valor de un ángulo de entre 0∘ y 360∘ y para encontrarlo bastará con ir sumando 360∘ hasta situarnos en el rango deseado (entre 0∘ y 360∘).

Ejemplo

Realicemos la resta de los ángulos 0∘,25∘,36∘,152∘,180∘,36∘ y 90∘:

0∘−25∘−36−152∘−180∘−36∘−90∘=−519∘

Y sucesivamente, iremos sumando 360∘ hasta llegar a un valor entre 0∘ y 360∘:

−519∘+360∘=−159∘

+360∘=201∘

Por consiguiente, la resta de todos los ángulos anteriores resulta un ángulo de 201 grados.

Bisectriz de un ángulo

Diremos que la bisectriz de un ángulo formado por dos rectas es el ángulo formado por una tercera recta que divide el ángulo original en dos ángulos idénticos:

En este dibujo podemos ver que la recta roja divide el ángulo formado por las otras dos rectas por la mitad.

Para calcular el ángulo formado por la recta bisectriz, simplemente se tendrá que dividir por dos el valor del ángulo inicial.

Ejemplo

Dado un ángulo de 42∘ encontrar el ángulo bisectriz.

Dividimos por dos 42 y encontramos que:

42∘2=21∘

Por consiguiente, la recta bisectriz tiene un ángulo de 21 grados.

TRIANGULOS

Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres segmentos que determinan tres puntos del plano y su limitación. Cada punto dado pertenece a dos segmentos.  Los puntos comunes a cada par de segmentos se denominan vértices del triángulo y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. Un triángulo es una figura estrictamente convexa.

Clasificación

Un triángulo se compone de: 

·         Base: uno cualquiera de sus lados (lado opuesto al vértice).

·         Vértice: la intersección de los lados congruentes (que conforman el ángulo)

·         Altura: es elemento perpendicular a una bases o a su prolongación, trazada desde el vértice opuesto.

·         Lados: son tres y conjuntamente con los ángulos definen las clases o tipos de ángulos.

Características:

·         Son figuras planas

·         Tienen área pero no volumen.

·         Los triángulos son polígonos

·         La suma de los ángulos de cualquier triángulo es de 180º

TIPOS DE TRIÁNGULOS

SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES

Medir un ángulo es compararlo con otro ángulo que se toma como unidad de medida.
Existen muchos sistemas de medida angular, ya que se pueden formar arbitrariamente, dependiendo del número de partes iguales en la que se divide el ángulo de una vuelta. A cada parte de ésta división se le considera como UNIDAD DE SISTEMA DE MEDIDA.

Convencionalmente son aceptados 3 sistemas de medición angular

1. Sistema sexagesimal o inglés (S)
2. Sistema centesimal o francés (C)
3. Sistema radial o circular (R)

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades más pequeñas. En otras palabras, se utiliza la base 60.

Este sistema es el utilizado para medidas de tiempo y de ángulos.

1h→60 min→60⋅60=3.600 s

1∘→60′→60⋅60=3.600′′

El sistema centecimal es una unidad de medida de ángulos planos, alternativa al grado sexagesimal y, como este, no perteneciente al Sistema Internacional de Unidades, cuyo valor se define como el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1/400 de la circunferencia. La circunferencia se divide, por tanto, en 400 gon y un ángulo recto en cien gon, lo que permite determinar que un grado centesimal equivale a nueve décimas partes del grado sexagesimal. Su símbolo es una "g".

El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad.

^{El teorema de Pitágoras}

^{Establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos . Es la proposición más conocida, entre otras, de las que tienen nombre propio en los contenidos de la matemática.}

^{El Teorema de Pitágoras tiene relación directa a un triangulo rectángulo al establecer que la suma de los cuadrados de los catetos (dos lados menores que forman un ángulo recto) es igual a el cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo).}

^{Las razones pitagóricas que se pueden resolver aplicando la formula anterior son las siguientes:}

^{- Ejemplo 1: Para saber el valor de la hipotenusa se debe obtener la suma de los cuadrados de los catetos y finalmente sacar la raíz cuadrada.} 

^{- Ejemplo 2: Para obtener el valor de un cateto cuando tenemos dos valores (hipotenusa y un cateto)}

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

^{Para las Funciones Trigonométricas, como se mencionó anteriormente, haremos uso del Teorema de Pitágoras y trabajaremos con las Funciones de Seno, Coseno y Tangente, y sus inversas, además de apoyarnos siempre con la Calculadora.}

^{Las letras minúsculas son las que utilizamos en el Teorema de Pitágoras, las letras Mayúsculas, en éste caso, se utilizarán para referirnos a los Ángulos del Triángulo.}

^{Empezaremos a ver cada una de las Funciones:}

^{1. Función Seno ( Sen): La Función Seno nos describe la relación existente entre Lado Opuesto sobre la Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:}

^{2. Función Coseno ( Cos): La Función Coseno describe la relación entre Lado Adyacente sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:}

^{3. Función Tangente ( Tan): Ésta Función nos representa la relación entre Lado adyacente sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:}

^{También tenemos las Funciones que son inversas a las anteriores:}

^{4. Función Cotangente ( Cot): Que describe la relación entre Lado Adyacente con Lado Opuesto:}

^{5. Función Secante ( Sec): Relación entre Hipotenusa sobre Lado Adyacente:}

^{6. Función Cosecante ( CsC): Nos muestra la relación entre Hipotenusa sobre Lado Opuesto:}

^{Ley del seno y coseno}

^{El triángulo ABC es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las  funciones seno y coseno.}

^{En un triángulo rectángulo, el seno (abreviado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.}

^{sen α = cos β = |BC| / |AB| = |BC| / 1 = |BC| = a}

^{Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:}

^{El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.}

^{Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan}

 ^{cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b}

^{Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:}

           

^{a2 = b2 + c2 − 2bc * cos(A)}

^{b2 = a2 + c2 − 2ac * cos(B)} 

^{c2 = a2 + b2 − 2ab * cos(C)}